1. VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO
El dinero tiene un valor diferente en el tiempo, dado que está afectado por varios factores:
• La inflación que hace que el dinero pierda poder adquisitivo en el tiempo, es decir, que se desvalorice.
• El riesgo en que se incurre al prestar o al invertir, pues no se tiene certeza absoluta de recuperar el dinero prestado o invertido.
• La oportunidad que tendría el dueño del dinero de invertirlo en otra actividad económica, protegiéndolo no sólo de la inflación sino también con la posibilidad de obtener una utilidad.
Por lo expuesto anteriormente, se puede afirmar que no es lo mismo un millón de pesos de hoy a un millón de pesos dentro de un año, pues por los efectos de la inflación, y otras variables económicas, no podemos comprar los mismos bienes de hoy dentro de un año.
De igual manera, podría darse el caso de la persona que invierte un millón de pesos hoy; esta persona al cabo de un año espera recibir un millón de pesos, más un dinero adicional que le permita protegerlo de la inflación y que le genere una utilidad.
Si por ejemplo: un computador, al iniciar el año cuesta $ 2.000.000 y la inflación proyectada para ese año es de 6.5%, quiere decir que para adquirir este mismo computador se debe disponer de $ 2.130.000.
El cálculo puede efectuarse de la siguiente forma:
Nuevo valor = $2000.000 + (2000.000 * 0.065) = $ 2.000.000 (1+ 0.065)
Nuevo valor = $2.000.000 *1.065 = $2.130.000
Dicho de otra forma:
Capital final =V P + (VP*i) = VP *(1+i)
VP: capital inicial
De lo anterior surge el concepto del Valor del Dinero en el Tiempo que sugiere que en nuestras manos y nosotros tomando decisiones con él, el dinero tiene la capacidad de generar más dinero, es decir de generar más valor.
Cuando la riqueza obtenida en un periodo se relaciona con el capital inicialmente comprometido para producirla, obtenemos lo que se denomina tasa de interés. Quiere decir, que lo que un inversionista exige como cantidad diferencial por el hecho de no disponer del dinero ahora a cambio de hacerlo dentro de un periodo determinado, se llama interés, cuya magnitud variará de acuerdo con sus expectativas que él considera está asumiendo al comprometer sus fondos.
2. GENERALIDADES
2.1 CAPITAL
En esta clase el capital es el dinero que se invierte o es prestado.
2.2. INTERES
Para definir el interés nos podemos remitir a algunas definiciones:
• Valor recibido o entregado por el uso del dinero a través del tiempo.
• Utilidad o ganancia que genera un capital.
• Alquiler que se paga por hacer uso del capital ajeno.
• Retribución económica que le devuelve el capital inicial al inversionista.
2.3. TASA DE INTERES
Es la relación que existe entre la utilidad obtenida en un periodo y el capital que inicialmente se comprometió para producir dicha utilidad.
Ejemplo: si una persona invierte hoy la suma de $3.000.000 y al final del año recibe la suma de $3.600.000, ¿cuál fue la tasa de interés que estuvo involucrada en esta inversión?
DATOS:
CAPITAL INICIAL (VP) = $3.000.000
CAPITAL FINAL (VF) = $ 3.6000.000
INTERES EN PSOS ( I ) = VF – VP = $ $3.600.000 - $ 3.000.000
I = $ 600.000
Denotemos la tasa de interés con la letra i
i= I / VP = $ 600.000 / $ 3.000.000
i= 0.20 = 20 %
2.4. TIEMPO
Es el lapso durante el cual se hace uso o se cede el capital y según las partes se pueden dividir en años, meses, semestres, trimestres, días, entre otras.
2.5. POSTULADO DE LAS FINANZAS
Este principio establece que el interés producido por una inversión está en función de tres variables:
• El capital inicial: mientras más grande sea el capital mayor será el interés producido por éste.
• La tasa: ésta depende de las fuerzas del mercado, y esta sujeta al juego de la oferta y la demanda. Cuando hay escasez de dinero las tasas aumenta y cuando hay abundancia de él, las tasas tienden a disminuir.
• El tiempo: mientras mayor sea la duración de la inversión, mayor será el interés producido.
Lo anterior nos permite concluir que para cualquier cálculo de intereses, es absolutamente necesario establecer los valores de las tres variables mencionadas.
3. TIPOS DE INTERES
3.1. INTERES SIMPLE
Se dice que una operación financiera está sujeta al concepto de interés simple, cuando los intereses liquidados periódicamente no se suman al capital, es decir los intereses no generan intereses; por lo cual el capital inicial (VP) permanece constante durante la vigencia de crédito o de la inversión.
NOTA: La tasa de interés simple se aplica sobre el capital inicial, lo que hace que los intereses sean iguales en todos los periodos.
EJEMPLO 1:
Una persona presta $ 4.000.000 al 3% mensual, durante 7 meses. ¿Cuánto se espera recibir de intereses?
DATOS:
VP = $ 4.000.000
i= 3% mensual = 0.03
TIEMPO (n) = 7 meses
I =?
Solución:
Tenemos que
I = $ 4.000.000 * 0.03 * 7
I = $ 840.000
Respuesta, el interés producido por $ 4.000.000 al 3% mensual durante 7 meses es $ 840.000.
Nota: la tasa de interés y el tiempo tienen que estar en la misma base, es decir, si los intereses son mensuales el tiempo tiene que ser mensual; si es bimestral el tiempo es bimestral.
EJEMPLO 2:
Un CDT de $5.000.000 paga un interés del 2.8% trimestral simple; cuánto genera en concepto de intereses en un año.
DATOS
VP = $ 5.000.000
i= 2.8 % trimestral
n = 1 año = 4 trimestres.
Solución
I = $ 5.000.000 * 0.028 *4
I = $ 560.000
Respuesta, un CDT de $ 5.000.000 colocados al 2.8% trimestral durante un año genera un interés de $ 560.000
EJEMPLO 3:
Una inversión generó un interés de $ 1.250.000 durante 3 años, si la tasa de interés que se reconoció por esta inversión fue el 2.3% mensual, ¿cuál fue el capital que inicialmente se invirtió?
DATOS:
I = $ 1.250.000
i= 2.3% mensual 0.023
n = 3 años = 36 meses
Solución
Por formula general tenemos que
Se despeja de la formula VP,
VP = I / (i * n) entonces,
VP = $1.250.000 / (0.023 * 36)
VP = $ 1.250.000/ 0.828
VP = $ 1.509.661, 84
Respuesta, para que una inversión produzca un $ 1.250.000 de interés, durante tres años a una tasa del 2,3% su capital inicial debe ser $1.509.661.84
EJEMPLO 4:
Durante cuanto tiempo estuvo invertido un capital de $10.000.000 para que al 4% bimestral produjera $ 6.700.000 de intereses.
DATOS
VP = $ 10.000.000
I= $ 6.700.000
i= 4% bimestral = 0.04
n = ?
Por fórmula general tenemos que
Despejamos de la formula,
n= I / (VP * i) entonces
n = $ 6.700.000 / ($ 10.000.000 *0.04)
n = $ 6.700.000 / $400.000
n= 16.75 bimestres
Respuesta, el tiempo que se necesita para un capital de $10.000.000 produzca $ 6.700.000 de interese a una tasa de 4 % bimestral es de 16,75 bimestres.
EJEMPLO 5:
Una persona realizo una inversión de $ 12.000.000 y al año y medio recibió de intereses la suma de $ 1.370.000, cual fue la rentabilidad mensual de esta inversión.
DATOS:
VP = $ 12.000.000
I = $ 1.370.000
n = 1, 5 años = 18 meses
i= ?
Por formula general tenemos que
Despejamos i
i= I /( VP*n)
Entonces,
i= $ 1.370.000 / ($12.000.000 * 18)
i = $ 1.370.000 / $216.000.000
i = 0.00634 equivalente a 0.634% mensual.
NOTA: Cuando la respuesta sea en tasa de interés, esta se debe dar en términos porcentuales.
EJEMPLO 6:
¿Qué suma tendrá que pagar una persona al término de 3 años, si en este momento le prestan $7.500.000 al 5% semestralmente y se debe pagar al final los intereses y el capital?
Antes de solucionar el ejercicio, cabe aclarar que en ocasiones no se pagan periódicamente los intereses sino que se pacta desde el inicio, entre las partes, el pago de los intereses y el capital al finalizar el vencimiento del plazo, esto es conocido como monto o valor final o valor futuro y lo denominamos VF.
Se denomina monto o valor futuro al capital inicial (VP) más los intereses (I), entonces:
VF = VP + I
Recordar que I = VP * i * n
Reemplazamos en la fórmula,
VF = VP + (VP * i * n)
VF = VP * (1+ (i*n))
Solución del ejercicio
DATOS:
n = 3 años = 6 semestres.
VP = $ 7.500.000
i= 5% semestral 0,05
VF = ?
Tenemos que
VF = $7.500.000 * ( 1 + ( 0,05 * 6)
VF = $ 7.500.000 * ( 1 + ( 0,3))
VF = $7.500.000 * 1,3
VF = $ 9.750.000
Respuesta, al termino de tres años, una persona que presta $7.500.000 al 5% semestral debe pagar al vencimiento $ 9,750.000.
EJEMPLO 7:
Calcule el monto a recibir en nueve meses por ahorrar $ 1.000.000 hoy, con una tasa de interés del 8,5% anual.
DATOS.
VP = $ 1.000.000
i= 8,5% anual 0,085
n = 9 meses = 9/360 = 0,025
VF= ?
Utilizamos la fórmula
VF = $ 1.000.000 * ( 1+ (0,085 * 0,025))
VF = $ 1.000.000 * 1.002125
VF = $ 1.002.125
Respuesta, por ahorrar $1.000.000 hoy, a una tasa de interés del 8,5% anual por nueve meses recibe $ 1.002.125.
EJEMPLO 8:
Un crédito tiene un valor al vencimiento de $90.000 ¿Cuál será el valor presente en 60 días antes del vencimiento? Suponga una tasa de interés del 28% anual.
DATOS
VF = $ 90.000
n= 60 días = 60 / 360 = 0,166666666
i= 28% 0,28
VP = ?
Solución
Sabemos que
Despejamos de la fórmula
VP = VF / (1+ (i*n)) entonces,
VP = $ 90.000 / (1+ (0,28 * 0,166666666))
VP = $ 90.000 / (1,046666667)
VP = $ 85.987, 26
Respuesta, el valor presente de un crédito que estaba al 28% en 60 días es de $85.987, 26.
FORMULAS DE INTERES SIMPLE
Fórmula 1 Interés simple I = VP * i * n
Fórmula 2 Valor Presente o Valor Actual VP = I /( i * n)
Fórmula 3 Tasa de Interés i = I / ( VP *n)
Fórmula 4 Número de Periodos n = I / (VP * i)
Fórmula 5 Monto o Valor Futuro VF = VP * (1 + i* n )
3.2. INTERES COMPUESTO
La gran mayoría de las operaciones financieras se realizan a interés compuesto con el objeto de tener en cuenta que los intereses liquidados no entregados, entran a formar parte del capital y para próximos periodos generarán a su vez intereses. Este fenómeno se conoce con el nombre de Capitalización de Intereses.
La diferencia fundamental que existe entre el interés simple y el interés compuesto consiste en que el interés simple liquida los intereses cada período y se pagan inmediatamente; en el interés compuesto los intereses liquidados se acumulan al capital para formar un nuevo capital denominado Monto y sobre este monto se calculan los nuevos intereses del siguiente periodo.
Supongamos que una persona invierte $1.000.000 en un CDT a 4 meses, a una tasa del 0.9% mensual, con liquidación mensual de intereses. ¿Cuánto dinero recibirá la persona al cabo de los 4 meses cuando se haya madurado el CDT?
El cálculo puede ilustrarse en la siguiente tabla:
Observemos el procedimiento paso por paso para que tratemos de deducir una fórmula que nos permita calcular directamente el monto final.
0 1 2 3 n
/__________/__________________/________________ / ______________/
VP VF1 = VP + I VF2 = VF1 + VF1 *i*n VF3 = VF2 + VF2 *i*n
I VF1 = VP + VP * i *n VF2 = VF1* (1+ i) VF3 = VF2* (1+ i)
VF1 = VP * (1 + i) VF2 = VP (1+i) * (1+i) VF3 = VP (1+i)2 * (1+i)
VF2 = VP (1+ i)2 VF3 = VP (1+ i)3
Como se acumula período a período, la n va tomando el valor de uno, y los intereses de cada período se liquidan sobre el monto anterior.
De acuerdo al anterior desarrollo, si continuamos y llegamos al periodo 15 el valor futuro es:
VF 15 = VP (1+ i) 15
Podemos concluir que a los n periodos el monto o valor futuro será:
VF = VP (1 + i) n
EJEMPLO 9:
Un capital de $36.000.000 estuvo invertido 3 años, al 28% anual compuesto. ¿Cuál fue su monto o valor futuro?
DATOS:
VP = $ 36.000.000
n= 3 años
i= 28% 0,28
VF = ?
Solución
Sabemos que
Reemplazamos en la fórmula.
VF = $ 36.000.000 (1 + 0,28) 3
VF = $ 36.000.000 * 2,097152
VF = $ 75.497.472
Respuesta, un capital de $36.000.000 invertido hoy al 28% anual durante 3 años equivale a $75.497.472.
EJEMPLO 10:
Una persona desea disponer de $3.000.000 dentro de dos años. ¿Cuánto debe invertir hoy para cumplir su objetivo, si la tasa de interés que le reconoce la entidad financiera es del 18% anual con capitalización mensual?
DATOS.
VF = $ 3.000.0000
n = 2 años 24 meses
i = 18% anual con capitalización mensual 18%/12 = 1.5% mensual
Nota: recordemos que la tasa de interés y el tiempo siempre deben de estar en la misma base. Cuando se habla de capitalización se esta indicando que los intereses se suman al capital de acuerdo al periodo de referencia.
Ejemplo. Si decimos que se tiene una tasa de interés del 30% anual con capitalización bimestral, entonces los periodos de referencia son 6 bimestres puesto que seis corresponde a los bimestres que tiene un año.
Solución al ejercicio
Sabemos que
Despejamos la fórmula,
VP = VF / (1+ i) n
Entonces,
VP = $ 3.000.000 / (1 + 0.015) 24
VP = $ 3.000.000 / 1,429502812
VP = $ 2.098.631, 75
Respuesta, si una persona quiere disponer de $3.000.000 dentro de dos años a una tasa del 18% anual con capitalización mensual debe invertir hoy $2.098.631,75
EJEMPLO 11:
Una persona invierte $5.000.000 durante año y medio con intereses liquidados y capitalizados mensualmente y le entregan al final $6.250.000. ¿Cual fue la tasa de interés que le reconocieron en esta inversión?
DATOS
VP = $ 5.000.000
VF = $ 6.250.000
n= 1, 5 años = 18 meses
i= ?
Sabemos que:
Despejamos de la fórmula,
VF / VP = (1 + i)n
Para poder despejar el interés se saca raíz cuadrada de n a ambos lados.
n√VF/ VP = (1+i)
i= (n√VF/ VP ) – 1
i = ( 18√$6.250.000/ $ 5.000.000) – 1
i = 1.012474024 -1
i = 0,012474 = 1, 2474% mensuales.
Respuesta, la tasa de interés que se reconoce en una inversión de $5.000.000 a un año y medio con periodos de capitalización mensuales, es de 1,2474% mensual.
EJEMPLO 12:
Una persona tomo prestado $10.000.000 a una tasa de interés del 2% mensual compuesto, y al final del crédito pagó $41.611.403, 75 ¿qué plazo le concedieron?
DATOS:
VP = $ 10.000.000
VF = $ 41.611.403,75
i= 2% mensual
n = ?
Sabemos que
Despejamos la variable n,
VF / VP = (1 + i) n
Por las propiedades de la potenciación, para despejar la n debemos utilizar los logaritmos, así.
Log (VF/VP) = n log (1+i)
n = log (VF/ VP) / log (1+ i)
n = log ($41.611.403,75/ $10.000.000) /log ( 1+ 0,02)
n = 72 meses = 6 años
Respuesta, el tiempo que le concedieron en este crédito es de 72 meses equivalente a 6 años.
FORMULAS DE INTERES COMPUESTO
Fórmula 1 Monto o Valor Futuro VF = VP x (1 + i ) n
Fórmula 2 Valor Presente o Valor Actual VP = VF /( 1 + i ) n
Fórmula 3 Tasa de Interés i = ( VF / VP) 1/n – 1
Fórmula 4 Número de Periodos n = log (VF/VP)/log (1+i)
Formula 5 Interés compuesto I = VP ((1+i)n – 1)
Todas los ejemplos anteriores se pueden realizar utilizando Calculadora Financiera o las funciones financieras del Excel. Estas herramientas deben considerarse con un instrumento para facilitar los cálculos pues su manejo, más que un proceso mecánico, es un proceso racional en el sentido de que la clave está en plantear adecuadamente el problema que se requiere resolver, para luego plasmarla en forma de instrucciones a la maquina o computador.
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